Алгеброгеометрические коды (Д.И. Кошелев, весна 2018)

Лектор — Д.И. Кошелев

Спецкурс проходит по пятницам с 19:20 до 21:00 в ауд. 304 НМУ. Первое занятие — 16 февраля.

Спецкурс посвящен так называемым алгеброгеометрическим кодам (АГ-кодам, геометрическим кодам Гоппы), то есть кодам построенным по алгебраическим многообразиям, в частности по кривым. Геометрически АГ-код есть не что иное, как некоторое множество Fq-точек алгебраического многообразия при фиксированном вложении в проективное пространство. Данному множеству естественном образом сопоставляется отображение, позволяющее так закодировать информацию, что при возникновении ошибок в кодовом слове их можно было бы исправить. Участникам спецкурса не требуется знать теории кодирования. Желательно владеть основами алгебраической геометрии, хотя все основные понятия и факты при необходимости будут рассказаны.

Программа

  • Теория кодирования: пространство Хэмминга, линейные коды, параметры, порождающая и проверочная матрицы, группы автоморфизмов, задача декодирования. Конструкции кодов: прямое и тензорное (кронекеровское) произведение, соединение, ограничение на подполе, каскад, проекция из точки. Границы, совершенные коды и МДР-коды. Системы (проективные) и их связь с кодами, мультипроективные пространства, вложения Веронезе и Сегре.
  • Алгебраические кривые, в частности рациональные нормальные и (гипер)эллиптические. Дивизоры: главные, степень, линейная эквивалентность, якобианы, пространства Римана-Роха (глобальных сечений), разложение функций в степенные ряды. Теоремы Безу, Клиффорда, Римана-Роха, формулы присоединения (Плюккера) и Римана-Гурвица, граница Кастельнуово.
  • Алгебраические кривые над конечными полями. Границы Хассе-Вейля-Серра, Стора-Волоха и Оестерле. Кривые Эрмита, Ферма, Гурвица (квартика Клейна), Пеано. Минимальные и максимальные, обыкновенные и суперсингулярные, субэрмитовы кривые. Группы автоморфизмов, границы на их порядок.
  • АГ-коды: конструкции L и P, обобщенные АГ-коды. Одноточечные коды: пробелы в точке, полугруппа Вейерштрасса, точки Вейерштрасса и гиперэллиптические точки, граница Фенга-Рао. Коды Рида-Соломона (расширенные) и АГ-коды на перечисленных кривых. Граница Цфасмана-Влэдуца-Цинка.
  • Многомерные АГ-коды (скорее всего, обсудить не успеем). Алгебраические многообразия над конечными полями: квадратичные и эрмитовы гиперповерхности, поверхности Хирцебруха (линейчатые) и дель Пеццо, ограничение скаляров по Вейлю. Коды Рида-Маллера (проективные) и АГ-коды на перечисленных многообразиях. Границы на число Fq-точек.